作者：張澤 | 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 培養(yǎng)單位：中國(guó)科學(xué)院物理研究所 審核：章一奇 特聘研究員 | 中國(guó)科學(xué)院物理研究所

在我們身邊，臺(tái)球正悄然流行起來(lái)。從社區(qū)活動(dòng)中心到商業(yè)街的新式球房，越來(lái)越多年輕人開(kāi)始拿起球桿，享受每一次擊球瞬間的樂(lè)趣與挑戰(zhàn)。2025年，趙心童、白雨露等中國(guó)選手在國(guó)際賽場(chǎng)屢創(chuàng)佳績(jī)，不僅刷新了中國(guó)臺(tái)球的歷史，也讓更多人關(guān)注并愛(ài)上了這項(xiàng)充滿(mǎn)智慧與技巧的運(yùn)動(dòng)。

但不知道你是否也經(jīng)歷過(guò)這樣的場(chǎng)面：瞄準(zhǔn)，出桿，清脆一響……眼看著目標(biāo)球直奔袋口，卻莫名其妙在最后時(shí)刻彈了出來(lái)！ 這抓狂的一幕，真的只是因?yàn)橘F兄“今天手感不好”嗎？

不不不，別急著怪手感。其實(shí)每一次精準(zhǔn)進(jìn)球和細(xì)膩?zhàn)呶?，背后都藏著硬核的?shù)學(xué)和物理規(guī)律！

今天，就讓我們拋開(kāi)玄學(xué)，重新用科學(xué)打開(kāi)臺(tái)球新世界的大門(mén)

1、準(zhǔn)度

“瞄準(zhǔn)不是憑感覺(jué)，出桿也要講科學(xué)”

大家都知道，臺(tái)球的基本規(guī)則是用母球把目標(biāo)球撞進(jìn)球袋。所以，“準(zhǔn)度”是第一關(guān)。很多初學(xué)者以為，只要把母球?qū)?zhǔn)目標(biāo)球和袋口的連線（進(jìn)球線）擊打，就能進(jìn)球。但，真的這么簡(jiǎn)單嗎？

實(shí)際上，臺(tái)球的碰撞可以近似看作“二維剛體的彈性碰撞”。也就是說(shuō)，碰撞后目標(biāo)球的運(yùn)動(dòng)方向，會(huì)沿著撞擊瞬間兩球心之間的連線方向運(yùn)動(dòng)。

如圖1所示，目標(biāo)球被撞擊后的運(yùn)動(dòng)方向，嚴(yán)格遵循一個(gè)物理規(guī)律：目標(biāo)球獲得的速度方向，將沿著碰撞瞬間兩球中心點(diǎn)之間的連線方向射出（此處省略萬(wàn)字證明）。

圖 1 理想二維剛體的彈性碰撞

那么問(wèn)題來(lái)了：我們到底該瞄哪里呢？

答案就是臺(tái)球界經(jīng)典不衰的——“假想球瞄準(zhǔn)法”（圖2）。

圖 2 “假想球”瞄準(zhǔn)法

你可以在腦海中假想：目標(biāo)球的后方，還貼著另一個(gè)一模一樣的“虛擬球”。它的中心，正好落在進(jìn)球線上。這時(shí)，你只需將母球擊向這個(gè)“假想球”的中心位置，目標(biāo)球就能穩(wěn)穩(wěn)進(jìn)袋！

聽(tīng)起來(lái)是不是很神奇？還沒(méi)完呢——

即便你瞄得再準(zhǔn)，出桿那一瞬的擊球點(diǎn)，也會(huì)通過(guò)一種叫“噴射效應(yīng)”（Squirt）的物理現(xiàn)象，悄悄改變母球的路線。

圖 3 臺(tái)球中的噴射效應(yīng)

如圖3所示，當(dāng)桿頭偏離母球（半徑R）中心（偏移距離為b）擊球時(shí)，桿頭對(duì)母球的力可以分解為兩個(gè)分量：

? 法向力N：指向母球球心。

? 切向摩擦力F：平行于接觸點(diǎn)切線方向（源自桿頭與球的摩擦）。

這兩個(gè)力的合力T的方向不再與球桿的擊打方向一致，這導(dǎo)致母球在離桿瞬間，其運(yùn)動(dòng)方向會(huì)偏離預(yù)期方向一個(gè)角度α，這種現(xiàn)象就是臺(tái)球術(shù)語(yǔ)中的 “噴射”（Squirt）或“讓點(diǎn)”。

根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系和力學(xué)原理，我們可以發(fā)現(xiàn)：擊打點(diǎn)如果偏離母球中心，就會(huì)產(chǎn)生偏移角α，并且其大小和偏移量b相關(guān)。這一微小的偏差，會(huì)通過(guò)噴射效應(yīng)顯著改變母球出射方向，導(dǎo)致目標(biāo)球最終沒(méi)有入袋。

精確的瞄準(zhǔn)和穩(wěn)定的打點(diǎn)，構(gòu)成了臺(tái)球最核心的基本功。所以你會(huì)發(fā)現(xiàn)：真正的高手，不僅眼光準(zhǔn)，出手也穩(wěn)——每一桿都在和控制“打點(diǎn)”的物理規(guī)律打交道，即使是經(jīng)驗(yàn)豐富的球員，也需要日復(fù)一日的訓(xùn)練來(lái)打磨這兩項(xiàng)技藝。

2、走位

“駕馭母球是門(mén)藝術(shù)”

能把球打進(jìn)只是入門(mén)，真正拉開(kāi)差距的，還得看“走位”的本事。所謂走位，就是通過(guò)控制母球碰撞后的路線，為自己下一桿制造機(jī)會(huì)。而這背后的關(guān)鍵，在于理解“分離角”。

分離角，即碰撞后母球的運(yùn)動(dòng)方向與目標(biāo)球運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角（圖4）

圖 4 分離角示意圖

分離角θ是指母球與目標(biāo)球碰撞后，母球的最終運(yùn)動(dòng)方向（即其進(jìn)入穩(wěn)定滾動(dòng)后的方向）與目標(biāo)球運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角。

精確計(jì)算分離角比較麻煩，不過(guò)不用擔(dān)心，我們熟悉的科里奧利（沒(méi)錯(cuò)，就是發(fā)現(xiàn)“科里奧利效應(yīng)”的那個(gè)科里奧利）在19世紀(jì)就對(duì)分離角做出過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

法國(guó)科學(xué)家古斯塔夫?科里奧利

科里奧利不僅是一位卓越的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是一位狂熱的臺(tái)球愛(ài)好者，他甚至撰寫(xiě)了一本名為《臺(tái)球中的數(shù)學(xué)理論》（Théorie Mathématique des Effets du Jeu de Billard）的書(shū)，來(lái)介紹臺(tái)球中的數(shù)學(xué)和物理。不過(guò)很可惜，這本書(shū)并沒(méi)有在臺(tái)球界受到廣泛閱讀，因?yàn)樗^(guò)于學(xué)術(shù)，并且是用法語(yǔ)寫(xiě)成的。

物理、數(shù)學(xué)雙料高材生科里奧利先生，在他的書(shū)中幾乎窮盡了球桌上可能發(fā)生的各種力學(xué)問(wèn)題，其中自然也包括我們今天的主角——分離角。

科里奧利認(rèn)為——如果母球在碰撞時(shí)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)，那么它會(huì)以90°的分離角彈開(kāi)；但如果加了旋轉(zhuǎn)（比如高桿、低桿），事情這就變得復(fù)雜起來(lái)了……

若碰撞瞬間，母球帶有旋轉(zhuǎn)（這里指上旋和下旋），在碰撞后，母球和球桌之間存在相對(duì)滑動(dòng)，我們可以證明（正如科里奧利先生那樣），二者接觸點(diǎn)的速度 與其加速度之間存在這樣的關(guān)系：

其中μ和g分別為球桌與母球之間的摩擦系數(shù)和重力加速度。從中可以看到，接觸點(diǎn)的加速度與速度永遠(yuǎn)同向，即其速度方向（同時(shí)也是其摩擦力方向）保持不變，此時(shí)母球只受到一個(gè)方向和大小都不變的力，這正是重力場(chǎng)中的拋物運(yùn)動(dòng)，因此帶旋轉(zhuǎn)時(shí)，母球在碰撞后的路徑是一個(gè)拋物線，直到其與球桌的相對(duì)滑動(dòng)消失。此時(shí)分離角θ為：

其中，φ為母球初始運(yùn)動(dòng)方向和子球撞擊后運(yùn)動(dòng)方向的夾角，v0為母球初始速度，R為母球半徑，ω為母球碰撞時(shí)的旋轉(zhuǎn)角速度。

不過(guò)，現(xiàn)實(shí)中大概率不會(huì)有機(jī)會(huì)讓我們打臺(tái)球的時(shí)候掏出紙筆（或者是電腦）來(lái)計(jì)算分離角，而且據(jù)說(shuō)科里奧利本人的臺(tái)球水平也不高。（可能他在數(shù)學(xué)和物理上的努力并沒(méi)有留給他太多的業(yè)余時(shí)間）

在實(shí)際情況中，人們更多是通過(guò)控制對(duì)母球的打點(diǎn)（高桿和低桿，見(jiàn)圖5），以及力度，來(lái)進(jìn)行走位，這需要大量的練習(xí)。不同打點(diǎn)以及速度對(duì)分離角的影響如圖6所示?？傮w來(lái)說(shuō)，速度越快，母球越傾向于先沿著90°分離角飛出，而桿法越低，母球越傾向于先向后滾動(dòng)，高桿同理。

圖 5 不同桿法和速度對(duì)分離角的影響

感謝科里奧利的精彩推導(dǎo)。不過(guò)說(shuō)實(shí)話，真要一邊打球一邊掏筆計(jì)算，可能球還沒(méi)進(jìn)，朋友已經(jīng)走光了。

所以現(xiàn)實(shí)中，大家更常用的是直覺(jué)+經(jīng)驗(yàn)：

? 高桿（擊打母球上部），母球會(huì)向前跟進(jìn)；

? 低桿（下部），母球會(huì)向后回旋；

? 配合力度控制，力量越大，母球越先按90°分離角運(yùn)動(dòng)，再依旋轉(zhuǎn)發(fā)生變化。

結(jié)語(yǔ)

讀到這里，有些同學(xué)可能躍躍欲試，也有些同學(xué)默默吐槽：“道理我都懂，可為什么還是打不好？”也許……真的不怪你！

“球桿彎了？”

“皮頭老化？一打滑就‘呲桿’”

“球沒(méi)擺緊？”

“開(kāi)局散得不均勻怎么打怎么別扭”

甚至臺(tái)面不平、燈光刺眼、對(duì)手突然咳嗽……都可能是你“發(fā)揮失?！钡睦碛?！所以說(shuō)，在認(rèn)真鉆研瞄準(zhǔn)與走位之前，先確保你的裝備和環(huán)境別拖后腿。

圖 6 打球失誤的各種理由

但最后我想說(shuō)的是，臺(tái)球的最高配置，不是多貴的桿子、多好的臺(tái)子，而是那個(gè)愿意陪你練球、互相吐槽、一起進(jìn)步的——好朋友??。

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參考文獻(xiàn)：

[1] Fundamentals - dr. Dave pool info [EB/OL]. from https://drdavepoolinfo.com/tutorial/fundamentals/.

[2] Billiard Dynamics 臺(tái)球動(dòng)力學(xué)[EB/OL]. From https://zhuanlan.zhihu.com/p/487265175.

本文轉(zhuǎn)載自《中科院物理所》微信公眾號(hào)

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